Science hubs & hub Sciences: densité des nombres premiers; Prime numbers

Monday, June 4, 2012

densité des nombres premiers; Prime numbers

$\mathbb{P}$ est l'ensemble des nombres premiers.
Remarque "1" n'est pas premier et n'est pas un nombre classique mais un "nombre axiome" nécessaire pour construire les entiers et pour de nombreuses raisons. Il est la notation quantitative de la notion d'unité (et d'incrément, le "+1") en philosophie, logique générale et dans toutes les sciences y compris théologiques. Il est aussi le neutre de l'opérateur multiplication. Il est toujours présent et souvent oublié.

Le résultat sur l'infinité des nombres premiers connu au moins depuis Euclide amène des questions de plus en plus précises par exemple: comment ils se succèdent, existe-t-il des formes de "régularité" dans leur distribution?

On utilise souvent comme point de départ la fonction de compte des nombres premiers noté π(x):
à un nombre réel (ou entier) x, on associe le nombre de nombres premiers inférieurs à x. Ne pas confondre π(x) avec π. En anglais, the prime-counting function.

Une conjecture importante (formulée par Adrien-Marie Legendre et Carl Friedrich Gauss) était que cette fonction de compte des nombres premiers est équivalente à la fonction

p(x)=π(x)= $x \mapsto \frac{x}{\ln(x)}$ .

On se sait toujours pas exprimer π(x) par une autre fonction spéciale et
Li(x) étant actuellement considérée comme la plus "proche" (voir ci-dessous).

Souvent il est intéressant de regarder le comportement asymptotique et ne pas se laisser "berner " par l'échantillon du début car même le domaine "Avogadro" de l'ordre de 10^24 reste un nombre "petit" face à l'infinité des entiers.

Quand x tend vers l'infini, que se passe-t-il?

On pose de manière naturelle la proportion de nombres premiers parmi les nombres inférieurs à x, soit $\frac{\pi(x)}{x}$ .
Cette proportion tend vers 0 à la "vitesse" de $\frac{1}{\ln(x)}$ .

ou l'inverse de cette proportion (soit x/π(x)) tend vers l'infini à la vitesse de ln(x).

On pense de manière naturelle aussi que les premiers sont de moins en moins nombreux plus on va vers les grands entiers. Cette façon de penser n'est pas si juste. Leur "traîne" est assez non-regulère, c'est surtout le pb de leur nature de non-régularité de la longueur de la suite de non-premiers entre deux premiers succéessifs qui focalisent trop souvent notre attention. Les entiers carrés sont encore moins nombreux que les premiers mais leur traîne est "régulière" (harmonique).
Les entiers carrés sont encore moins nombreux que les premiers : ce qui se démontre facilement avec ce théorème: √x/x<x/ln(x) pour x grand.
√x/x étant la proportion des carrés, proportion qui tend vers zéro alors que la proportion des pairs tend vers 1/2...
L'inverse de la proportion des carrés tend vers l'infini à la vitesse de √x.
L'inverse de la proportion des pairs tend vers 1/2 en oscillant entre 1/2 et 3/2 pour les deux premiers pas à chaque incrément d'entier et oscille toujours mais en proportion de moins en moins.

Pour x=7, 8 ou 9 ou 10, on a π(x)=4 c-a-d 4 premiers : 2, 3, 5 et 7.
π(x) est une fonction à palier (donc avec discontinuités).

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:PrimePi.PNG

Generated with Mathematica (OK jusqu'à N≤10^13).

   ListPlot[PrimePi[Range[60]],
   PlotStyle -> {Hue[.6], PointSize[0.0125]},
   AxesLabel -> {n, "π(n)"},
   Ticks -> {Automatic, Table[i, {i, 0, 20, 2}]},
   TextStyle -> {FontFamily -> "Times", FontSize -> 16}
   ];

http://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction.html

pour la suite de la longueur des paliers, c'est la suite 0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, ... (Sloane's A000720).

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Après ces remarques qualitatives, abordons les fonctions π(x), (π(x)/x)^-1 et autres fonctions spéciales associées à π(x).
Cette conjecture de Legendre et Gauss a été démontrée indépendamment par Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin en 1896, et porte le nom de théorème des nombres premiers.
Ces démonstrations nécessitent des outils puissants d'analyse complexe pour démontrer un énoncé d'arithmétique et d'analyse réelle. L'enseignement de cette démonstration est d'un niveau d'un bon master M1 avec des élèves motivés ou style ENS, X, Mines... ;)

Le théorème s'écrit "simplement":

$\lim_{x\to+\infty}\pi(x)\frac{\ln(x)}{x}=1$

donc pour les physiciens et autres scientifiques plongés dans le monde de l'approximation :

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}$

Des approximations meilleurs sont par exemple π(x)=li(x) ou encore

$\pi(x) \sim {\rm Li} (x) ,$

que nous verrons.
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li est la fonction logarithme intégral. Le logarithme intégral li est une fonction spéciale définie en tout nombre réel strictement positif x≠1 par l'intégrale :
${\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)}.$

La fonction li est liée à l'exponentielle intégrale Ei par la relation li(x) = Ei (ln (x)) pour tout nombre réel strictement positif x ≠ 1.
Ceci mène aux développements en séries de li(x), comme :

${\rm pour} \; u \ne 0 \;,\quad {\rm li} (e^{u}) = \gamma + \ln \left| (u) \right| + \sum_{n=1}^{\infty} {u^{n}\over n \cdot n!},$

où γ ≈ 0,577 est la constante d'Euler-Mascheroni. La fonction li a une seule racine, elle se trouve en x≈1.451 ; ce nombre est la constante de Ramanujan-Soldner.

La fonction d'écart logarithmique intégrale est une fonction spéciale Li(x) très similaire à la fonction logarithme intégral, définie de la façon suivante :

$\mathrm{Li}(x) = \mathrm{li}(x) - \mathrm{li}(2)=\int_{2}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)}.$

On peut montrer que, pour tout entier n, on a le développement asymptotique suivant à l'infini :

${\rm Li} (x) = \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^{n} \frac{k!}{(\ln x)^k} + o\left(\frac{x}{(\ln x)^{n+1}}\right).$

Elle est souvent utilisée dans les formulations du théorème des nombres premiers. L'écart logarithmique intégral donne une estimation légèrement meilleure de la fonction de compte des nombres premiers que la fonction li.
Voir le "Abramowitz, Handbook of Mathematical Functions": http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/frameindex.htm

--------------Avec ces outils:
Le tableau suivant illustre les écarts entre π(x) et ses approximations $\frac{x}{\ln(x)}$ et ${\rm Li} (x)$ :

Regardons la qualité de ces approximations:

x	π(x)	π(x) - x / ln(x)	Li(x) - π(x)	x / π(x)
10¹	4 ( 4premiers Premiers 2,3,5&7)	0	2	2,500
10²	25	3	5	4,000
10³	168	23	10	5,952
10⁴	1 229	143	17	8,137
10⁵	9 592	906	38	10,430
10⁶	78 498	6 116	130	12,740
10⁷	664 579	44 159	339	15,050
10⁸	5 761 455	332 774	754	17,360
10⁹	50 847 534	2 592 592	1 701	19,670
10¹⁰	455 052 511	20 758 029	3 104	21,980
10¹¹	4 118 054 813	169 923 159	11 588	24,280
10¹²	37 607 912 018	1 416 705 193	38 263	26,590
10¹³	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28,900
10¹⁴	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314 890	31,200

10^24	18 435 599 767 349 200 867 866	339 996 354 713 708 049 069	17 146 907 278	54,243

[http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_nombres_premiers]

La valeur pour π(10^24) est donnée par J. Buethe, J. Franke, A. Jost, T. Kleinjung (assumes the Riemann hypothesis) en 7/2010: http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function

Pour le nombre 10^9 ou 1milliard, on a déjà 50 847 534 premiers (soit de l'ordre de la cinquantaine de million). L'approx x/ln(x) en rate 2.5millions. L'approx Li(x) en ajoute 1701.

Dans le "On-Line Encyclopedia of Integer Sequences", π(x) est la sequence A006880 (http://oeis.org/A006880), π(x) - x / ln x est la sequence A057835 (http://oeis.org/A057835), and li(x) − π(x) is sequence A057752 (http://oeis.org/A057752).

Quel sens pour le nombre entier 10^24?
10^24 est l'ordre de grandeur d'Avogadro soit de l'ordre de 20 grammes de l'isotope 12 du carbone. C'est en fait une grandeur d'homogénéisation qui passe de l'échelle atomique en (0.1nm)^3 à l'échelle macroscopique du cm^3.
Le nombre d'Avogadro (ou constante d'Avogadro) est le nombre d'entités identiques dans une mole. Il correspond au nombre d'atomes de carbone dans 12 grammes de l'isotope 12 du carbone.
Des travaux visant à préciser cette mesure ont été publiés en janvier 2011 et proposent la valeur 6,022 140 78×10^23 mol-1, avec une incertitude relative de 3,0×10^-8. "An accurate determination of the Avogadro constant by counting the atoms in a 28Si crystal", dans Phys. Rev. Lett., vol. 106, no 3, 2011, p. 030801: http://prl.aps.org/abstract/PRL/v106/i3/e030801

Il y a 18 435 599 767 349 200 867 866 premiers avant le nombre entier 10^24, 1/54243 ~ 0.0184355585, soit ~1.8 10^22 soit 1.8%.
Sur cet échantillon de 10^24 entiers, il y a l'inverse de la proportion (10^24entiers)/(18 435 599 767 349 200 867 866Premiers) soit 54243.
Etrangement, il faut saisir combien c'est un échantillon "petit".

----------------------remarque
Il existe bcp de fonctions qui ne donnent pas réellement π(n), mais évaluent seulement si n est premier ou non. Comme elles demandent environ n opérations élémentaires pour être calculée, elle est à cette fin beaucoup plus inefficace que la méthode de division par tous les entiers inférieurs ou égaux à √n, elle-même bien moins rapide que les meilleurs tests de primalité actuellement connus.

-----------------------Euler

Voir sa démonstration de l'infinité des nombres premiers [Euler, 1744 ; http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E072.pdf].

Il utilise l’opérateur de transfo suivant (addition<->multiplication) si important:

$\sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n} \ = \ \prod_{p\in\mathcal{P}} \ \frac{1}{1-1/p}.$

Le membre de gauche est la célèbre suite harmonique si divergente ;) Elle a donné beaucoup de paradoxe (pas que grecs) ! Intuivement on croit toujours qu’elle converge.

Chaque terme de cette série (après le premier) est la moyenne des termes voisins. Cette série est très importante dans les ondes d’ailleurs le terme "harmonique" vient de la musique.

La preuve d'Euler utilise donc cette "identité" si importante

$\sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n} \ = \ \prod_{p\in\mathcal{P}} \ \frac{1}{1-1/p}.$

Avec P ensemble des premiers.
Le terme de gauche est la somme de la série harmonique, qui est divergente et par conséquent, le produit de droite doit contenir une infinité de facteurs.
Le terme de droite est la fonction zêta de Riemann ζ(s).
Remarque: ζ(2)^-1= 6/π², (où π intervient encore) est la probabilité que 2 nombres sélectionnées « au hasard » (échantillonées aléatoirement) sont premiers entre-eux.

Au niveau stratégie de preuve, on commence souvent par écrire l'égalité entre le produit d'Euler et la factorisation de Weierstrass de la fonction zêta [http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_nombres_premiers]:
$\zeta(s) = \prod_{p\in\mathbb{P}} \ \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{e^{a+bs}}{s-1}\prod_{\rho\in Z} (1-\frac{s}{\rho})e^{\frac{s}{\rho}}$
avec s de partie réelle strictement supérieure à 1, P l'ensemble des nombres premiers, Z l'ensemble des zéros (triviaux et non triviaux) de zêta et a, b des constantes.

On prend ensuite la dérivée logarithmique....

-------------------la fonction de compte des nombres premiers de Rieman

Autres fonctions de compte des nombres premiers

D'autres fonctions de compte des nombres premiers sont aussi utilisées car elles sont plus pratiques pour travailler. Une d'elles est la fonction de compte des nombres premiers de Riemann, notée J(x) . Celle-ci possède des sauts de 1/n pour les puissances de nombres premiers pn, qui prennent une valeur à mi-chemin entre les deux côtés des discontinuités. Elle peut être aussi définie comme une transformation de Mellin inverse.

Ref: http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_compte_des_nombres_premiers

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----------------π(x) fonction par paliers (et discontinuités)

In 1975, number theorist Don Zagier commented that primes both:

grow like weeds (mauvaise herbe) among the natural numbers, seeming to obey no other law than that of chance [but also] exhibit stunning regularity [and] that there are laws governing their behavior, and that they obey these laws with almost military precision.

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There are "arbitrarily" long sequences of consecutive non-primes, as for every positive integer n, the n consecutive integers from $(n+1)! + 2$ to $(n+1)! + n + 1$ (inclusive) are all composite (as $(n+1)! + k$ is divisible by k for k between 2 and n+1).

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Pour commencer:
comme wikipedien, allez sur ces qq assez bonnes pages:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_nombres_premiers
http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_int%C3%A9gral

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sur_le_nombre_de_nombres_premiers_inf%C3%A9rieurs_%C3%A0_une_taille_donn%C3%A9e
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_compte_des_nombres_premiers

Pour aller plus loin:
http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AVM00005.htm
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En fait les entiers les plus intéressants sont les nombres hautement composés
Remarque sur les nombres d’Euclide et les nombres hautement composés...

La primorielle d'un nombre entier n, notée n# ou #n, est le produit de tous les nombres premiers inférieurs (ou égaux) à n.
la suite: 2, 2x3=6, 2x3x5=30, 2x3x5x7=210,

#p+1 ou nombres d’Euclide sont très intéressants :

2*1+1=3 ; 2*3+1=7 ; 2*3*5+1=31….

3, 7, 31, 211, 2311, 30031 (suite A006862 : http://oeis.org/A006862)

E₆=#6 + 1 = 30031 = 59 x 509 est le premier nombre d'Euclide composé (ce qui démontre que tous les nombres d'Euclide ne sont pas premiers…).

de même que #p-1 ne sont pas tous des Premiers, par exemple 210-1=209=11*19

L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration de l'infinitude des nombres premiers ; elle est utilisée pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier p donné : tout diviseur premier de #p+1 est en effet plus grand que p. Il est possible que #p+1 lui-même soit premier, c'est alors un nombre premier primoriel.

Un nombre hautement composé est un entier qui possède plus de diviseurs que n'importe quel entier positif inférieur à lui.

Tout nombre hautement composé (HCN en anglais) est un produit de primorielles par exemple
360 = 2 × 6 × 30 soit 2 x (2x3) x (2x3x5) ou =#1 x #2 x #3.
qui a 24 diviseurs.

Les 21 premiers HCN sont :

nombres hautement composés (suite A002182 de l’OEIS)	1	2	4	6	12	24	36	48	60	120	180	240	360	720	840	1260	1680	2520	5040	7560	10080	...
nombres de diviseurs (suite A002183 de l’OEIS)	1	2	3	4	6	8	9	10	12	16	18	20	24	30	32	36	40	48	60	64	72	...
décomposition en facteurs premiers	1	2	2²	2 3	2² 3	2³ 3	2² 3²	2⁴ 3	2² 3 5	2³ 3 5	2² 3² 5	2⁴ 3 5	2³ 3² 5	2⁴ 3² 5	2³ 3 5 7	2² 3² 5 7	2⁴ 3 5 7	2³ 3² 5 7	2⁴ 3² 5 7	2³ 3³ 5 7	2⁵ 3² 5 7	...

Il existe une infinité de nombres hautement composés.

On a une sous classe intéressante: les HCN qui ont un nombre de diviseur qui est aussi un HCN.
6,12,24,60,360,1260, 2520,5040...

Online Highly Composite Numbers (HCN) Calculator:
http://www.javascripter.net/math/calculators/highlycompositenumbers.htm

http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html

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Pour commencer:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_hautement_compos%C3%A9
Pour aller plus loin:
http://mathworld.wolfram.com/HighlyCompositeNumber.html
http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html

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Quand x tend vers l'infini, que se passe-t-il?

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