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Saturday, October 27, 2012

The Bernoulli numbers and the primes

News (21 oct 2012):

Shi Bai and I would like to announce that we have factored the
remaining C173 of the numerator of the 202th Bernoulli number (see
http://homes.cerias.purdue.edu/~ssw/bernoulli/bnum for a list of known
factors).

We used the CADO-NFS program (http://cado-nfs.gforge.inria.fr/). The
polynomial selection took around 10 days on a 48 core 2.2GHz AMD
Opteron. The sieving took around 42 days on the 48 core machine.
Linear algebra took around 15 days on 72 cores on an AMD Opteron
2.3 GHz. The final square root phase consumed less than a day on
8 cores on the same machine.

The C173 factored into a 76-digit prime and a 97-digit prime.

--------

The Bernoulli numbers B_nplay an important role in several topics of mathematics. These numbers can be defined by the power series

where all numbers B_n are zero with odd index n > 1. The even-indexed rational numbers B_n alternate in sign. The first values are

Sum of consecutive integer powers

Jakob Bernoulli introduced a sequence of rational numbers, later called Bernoulli numbers, to compute the sum of consecutive integer powers. This formula is given by

Values of the Riemann zeta function

The Bernoulli numbers are connected with the Riemann zeta function

on the positive real axis by Euler's formula for positive even n, also valid for n = 0:

The functional equation of ζ(s) leads to the following formula for negative integer arguments:

Structure of the denominator

The structure of the denominator of B_n for positive even n is given by the Clausen - von Staudt Theorem:

Structure of the numerator

The numerator of B_n/n for positive even n equals 1 only for n = 2,4,6,8,10,14; otherwise this numerator is a product of powers of irregular primes. Since B_n/n is a p-integer for primes p where p-1 does not divide n, the structure of the numerator of B_nis given by

The first product is a trivial factor of B_n which divides n. The second product consists only of powers of irregular primes p_v which are not easy to determine for larger n.

Kummer congruences

The Kummer congruences describe the most important arithmetical properties of the Bernoulli numbers which give a modular relation between these numbers.

The two millionth Bernoulli number

More than 10 million digits were omitted in the middle of the numerator!

The 1.5 millionth Bernoulli number

More than 7.4 million digits were omitted in the middle of the numerator!

The one millionth Bernoulli number

More than 4.7 million digits were omitted in the middle of the numerator!

Program Calcbn - A multi-threaded program for computing Bernoulli numbers via Riemann zeta function

Version	Windows (32-bit) / Exe single & multi-threaded	Linux (64-bit) / Source single & multi-threaded
2.0	calcbn32exe.zip (150 KB)	calcbn64src.zip (26 KB)

Calcbn can be freely used without any warranty. Calcbn depends on the GMP library, so use the latest version of GMP with possible optimization for the current hardware that is being used. The source code of Calcbn is released under the terms of the GNU Public License. Timings on an Intel Core2Duo E6850 @ 3 GHz, computation of the 100000th Bernoulli number: Windows XP (32-bit): 16.8s (one thread), 8.7s (two threads). Linux openSUSE 11.0 (64-bit): 11.3s (one thread), 5.7s (two threads).

Factorization of numerators

Factorization of numerators of Bernoulli numbers with index 2 to 10000. Computed prime factors are less than one million: factors10t.txt (111 KB).

Irregular pairs of higher order

The irregular pairs of higher order describe the first appearance of higher powers of irregular prime factors of B_n/n. An irregular pair (p,n) of order r has the property that p^r divides B_n/n with n < (p-1)p^r-1. Note that n is always an even positive integer. For r = 1 this gives the usual definition of irregular pairs; note that the condition p divides B_n/n is then equal to p divides B_n. There exists a criterion to check whether the sequence of irregular pairs of higher order is unique. It has been proven for all irregular primes below 12 million that there are only unique sequences. Writing sequences p-adically these pairs of higher order provide an approximation of a uniquely existing zero of the p-adic zeta function associated with an irregular pair. For definition and properties see [R3]. Example:

Irregular pairs of higher order can be effectively and easily computed using Bernoulli numbers with small indices. By this means one can even predict the very large index of the first occurence of the power 37³⁷ as listed above. Table of irregular pairs of order 10 for irregular primes below 1000: irrpairord.txt

A conjectural structural formula for the Bernoulli numbers

Assuming that all sequences of irregular pairs of higher order are unique, resp. each p-adic zeta function associated with an irregular pair (p,l) has a unique simple zero χ _(p,l), one can describe the structure of divided Bernoulli numbers, resp. the value of the Riemann zeta function at negative odd integer arguments, as follows:

Under the proposed assumption, one can give some interpretation of the formula above. The denominator can be described by poles (always lying at 0) and the numerator by zeros of p-adic zeta functions measuring the distance to them using the p-adic metric induced by the standard ultrametric absolute value | |_p. Note that this formula is valid for all irregular primes below 12 million. For detailed statements see [R3]. Equivalently, the formula conjecturally states for the Bernoulli numbers that

If there should exist a sequence of irregular pairs of higher order that is not unique, – the so-called singular case –, then the formulas given above remain valid. An additional product has to be added for those irregular pairs which belong to the singular case. This product can be described by trees of irregular pairs of higher order, which is much more complicated. Since there is not known any example of the singular case, the conjectural formulas are presented here in a simple form.

A conjectural structural formula for the Euler numbers

Similarly, for the Euler numbers E_n, n > 0 and even, one can state also a conjectural formula:

Here (p,l) are irregular pairs associated with the Euler numbers and the ξ _(p,l)are certain zeros of p-adic L-functions.

Connections with class numbers of imaginary quadratic fields

Let h(d) denote the class number of the imaginary quadratic field Q(√d) of discriminant d < -4. For primes p > 3 one has the connections with Bernoulli and Euler numbers due to Carlitz [R1]:

Since h(-p) < p and h(-4p) < p for these cases, this shows that p cannot divide special Bernoulli and Euler numbers. That means for Bernoulli numbers that an irregular pair (p,(p+1)/2) for p ≡ 3 (mod 4) cannot exist.

Asymptotic formula

The product of Bernoulli numbers is described by the following asymptotic formula, see [R4],

with an asymptotic constant C₂ = 4.855096646522... which is given by

where C₁ = 1.8210174514992... is the product over all values of the Riemann zeta function at even positive integers and A = 1.2824271291... is the Glaisher-Kinkelin constant:

Links & References

[L1] Karl Dilcher, Ilja Sh. Slavutskii: A Bibliography of Bernoulli Numbers
[L2] Eric Weisstein: World of Mathematics, Bernoulli number
[L3] David Harvey: Homepage. A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers
[L4] S. S. Wagstaff: Factors of Bernoulli and Euler Numbers
[L5] Chris Caldwell: Irregular primes - The Top 20
[L6] Bernd C. Kellner: Homepage. Articles on Bernoulli numbers
[L7] Mikko Tommila: Apfloat - High Performance Arbitrary Precision Arithmetic Package for C++ and Java
[L8] gmplib.org: GNU Multiple Precision Arithmetic Library for C/C++

[R1] L. Carlitz, The class number of an imaginary quadratic field, Comment. Math. Helv. 27 (1953), 338-345.
[R2] K. Ireland and M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, GTM, vol. 84, Springer-Verlag, 2nd edition, 1990.
[R3] B. C. Kellner, On irregular prime power divisors of the Bernoulli numbers, Math. Comp. 76 (2007), no. 257, 405-441.
[R4] B. C. Kellner, On Asymptotic Constants Related to Products of Bernoulli Numbers and Factorials, Integers 9 (2009), 83-106.

Created by Bernd C. Kellner, Göttingen, Germany.
For questions or suggestions: bk (at) bernoulli.org
Last updated: Apr. 16, 2009Ref: http://www.bernoulli.org/

Monday, June 4, 2012

densité des nombres premiers; Prime numbers

$\mathbb{P}$ est l'ensemble des nombres premiers.
Remarque "1" n'est pas premier et n'est pas un nombre classique mais un "nombre axiome" nécessaire pour construire les entiers et pour de nombreuses raisons. Il est la notation quantitative de la notion d'unité (et d'incrément, le "+1") en philosophie, logique générale et dans toutes les sciences y compris théologiques. Il est aussi le neutre de l'opérateur multiplication. Il est toujours présent et souvent oublié.

Le résultat sur l'infinité des nombres premiers connu au moins depuis Euclide amène des questions de plus en plus précises par exemple: comment ils se succèdent, existe-t-il des formes de "régularité" dans leur distribution?

On utilise souvent comme point de départ la fonction de compte des nombres premiers noté π(x):
à un nombre réel (ou entier) x, on associe le nombre de nombres premiers inférieurs à x. Ne pas confondre π(x) avec π. En anglais, the prime-counting function.

Une conjecture importante (formulée par Adrien-Marie Legendre et Carl Friedrich Gauss) était que cette fonction de compte des nombres premiers est équivalente à la fonction

p(x)=π(x)= $x \mapsto \frac{x}{\ln(x)}$ .

On se sait toujours pas exprimer π(x) par une autre fonction spéciale et
Li(x) étant actuellement considérée comme la plus "proche" (voir ci-dessous).

Souvent il est intéressant de regarder le comportement asymptotique et ne pas se laisser "berner " par l'échantillon du début car même le domaine "Avogadro" de l'ordre de 10^24 reste un nombre "petit" face à l'infinité des entiers.

Quand x tend vers l'infini, que se passe-t-il?

On pose de manière naturelle la proportion de nombres premiers parmi les nombres inférieurs à x, soit $\frac{\pi(x)}{x}$ .
Cette proportion tend vers 0 à la "vitesse" de $\frac{1}{\ln(x)}$ .

ou l'inverse de cette proportion (soit x/π(x)) tend vers l'infini à la vitesse de ln(x).

On pense de manière naturelle aussi que les premiers sont de moins en moins nombreux plus on va vers les grands entiers. Cette façon de penser n'est pas si juste. Leur "traîne" est assez non-regulère, c'est surtout le pb de leur nature de non-régularité de la longueur de la suite de non-premiers entre deux premiers succéessifs qui focalisent trop souvent notre attention. Les entiers carrés sont encore moins nombreux que les premiers mais leur traîne est "régulière" (harmonique).
Les entiers carrés sont encore moins nombreux que les premiers : ce qui se démontre facilement avec ce théorème: √x/x<x/ln(x) pour x grand.
√x/x étant la proportion des carrés, proportion qui tend vers zéro alors que la proportion des pairs tend vers 1/2...
L'inverse de la proportion des carrés tend vers l'infini à la vitesse de √x.
L'inverse de la proportion des pairs tend vers 1/2 en oscillant entre 1/2 et 3/2 pour les deux premiers pas à chaque incrément d'entier et oscille toujours mais en proportion de moins en moins.

Pour x=7, 8 ou 9 ou 10, on a π(x)=4 c-a-d 4 premiers : 2, 3, 5 et 7.
π(x) est une fonction à palier (donc avec discontinuités).

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:PrimePi.PNG

Generated with Mathematica (OK jusqu'à N≤10^13).

   ListPlot[PrimePi[Range[60]],
   PlotStyle -> {Hue[.6], PointSize[0.0125]},
   AxesLabel -> {n, "π(n)"},
   Ticks -> {Automatic, Table[i, {i, 0, 20, 2}]},
   TextStyle -> {FontFamily -> "Times", FontSize -> 16}
   ];

http://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction.html

pour la suite de la longueur des paliers, c'est la suite 0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, ... (Sloane's A000720).

------------------

Après ces remarques qualitatives, abordons les fonctions π(x), (π(x)/x)^-1 et autres fonctions spéciales associées à π(x).
Cette conjecture de Legendre et Gauss a été démontrée indépendamment par Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin en 1896, et porte le nom de théorème des nombres premiers.
Ces démonstrations nécessitent des outils puissants d'analyse complexe pour démontrer un énoncé d'arithmétique et d'analyse réelle. L'enseignement de cette démonstration est d'un niveau d'un bon master M1 avec des élèves motivés ou style ENS, X, Mines... ;)

Le théorème s'écrit "simplement":

$\lim_{x\to+\infty}\pi(x)\frac{\ln(x)}{x}=1$

donc pour les physiciens et autres scientifiques plongés dans le monde de l'approximation :

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}$

Des approximations meilleurs sont par exemple π(x)=li(x) ou encore

$\pi(x) \sim {\rm Li} (x) ,$

que nous verrons.
--------
li est la fonction logarithme intégral. Le logarithme intégral li est une fonction spéciale définie en tout nombre réel strictement positif x≠1 par l'intégrale :
${\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)}.$

La fonction li est liée à l'exponentielle intégrale Ei par la relation li(x) = Ei (ln (x)) pour tout nombre réel strictement positif x ≠ 1.
Ceci mène aux développements en séries de li(x), comme :

${\rm pour} \; u \ne 0 \;,\quad {\rm li} (e^{u}) = \gamma + \ln \left| (u) \right| + \sum_{n=1}^{\infty} {u^{n}\over n \cdot n!},$

où γ ≈ 0,577 est la constante d'Euler-Mascheroni. La fonction li a une seule racine, elle se trouve en x≈1.451 ; ce nombre est la constante de Ramanujan-Soldner.

La fonction d'écart logarithmique intégrale est une fonction spéciale Li(x) très similaire à la fonction logarithme intégral, définie de la façon suivante :

$\mathrm{Li}(x) = \mathrm{li}(x) - \mathrm{li}(2)=\int_{2}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)}.$

On peut montrer que, pour tout entier n, on a le développement asymptotique suivant à l'infini :

${\rm Li} (x) = \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^{n} \frac{k!}{(\ln x)^k} + o\left(\frac{x}{(\ln x)^{n+1}}\right).$

Elle est souvent utilisée dans les formulations du théorème des nombres premiers. L'écart logarithmique intégral donne une estimation légèrement meilleure de la fonction de compte des nombres premiers que la fonction li.
Voir le "Abramowitz, Handbook of Mathematical Functions": http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/frameindex.htm

--------------Avec ces outils:
Le tableau suivant illustre les écarts entre π(x) et ses approximations $\frac{x}{\ln(x)}$ et ${\rm Li} (x)$ :

Regardons la qualité de ces approximations:

x	π(x)	π(x) - x / ln(x)	Li(x) - π(x)	x / π(x)
10¹	4 ( 4premiers Premiers 2,3,5&7)	0	2	2,500
10²	25	3	5	4,000
10³	168	23	10	5,952
10⁴	1 229	143	17	8,137
10⁵	9 592	906	38	10,430
10⁶	78 498	6 116	130	12,740
10⁷	664 579	44 159	339	15,050
10⁸	5 761 455	332 774	754	17,360
10⁹	50 847 534	2 592 592	1 701	19,670
10¹⁰	455 052 511	20 758 029	3 104	21,980
10¹¹	4 118 054 813	169 923 159	11 588	24,280
10¹²	37 607 912 018	1 416 705 193	38 263	26,590
10¹³	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28,900
10¹⁴	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314 890	31,200

10^24	18 435 599 767 349 200 867 866	339 996 354 713 708 049 069	17 146 907 278	54,243

[http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_nombres_premiers]

La valeur pour π(10^24) est donnée par J. Buethe, J. Franke, A. Jost, T. Kleinjung (assumes the Riemann hypothesis) en 7/2010: http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function

Pour le nombre 10^9 ou 1milliard, on a déjà 50 847 534 premiers (soit de l'ordre de la cinquantaine de million). L'approx x/ln(x) en rate 2.5millions. L'approx Li(x) en ajoute 1701.

Dans le "On-Line Encyclopedia of Integer Sequences", π(x) est la sequence A006880 (http://oeis.org/A006880), π(x) - x / ln x est la sequence A057835 (http://oeis.org/A057835), and li(x) − π(x) is sequence A057752 (http://oeis.org/A057752).

Quel sens pour le nombre entier 10^24?
10^24 est l'ordre de grandeur d'Avogadro soit de l'ordre de 20 grammes de l'isotope 12 du carbone. C'est en fait une grandeur d'homogénéisation qui passe de l'échelle atomique en (0.1nm)^3 à l'échelle macroscopique du cm^3.
Le nombre d'Avogadro (ou constante d'Avogadro) est le nombre d'entités identiques dans une mole. Il correspond au nombre d'atomes de carbone dans 12 grammes de l'isotope 12 du carbone.
Des travaux visant à préciser cette mesure ont été publiés en janvier 2011 et proposent la valeur 6,022 140 78×10^23 mol-1, avec une incertitude relative de 3,0×10^-8. "An accurate determination of the Avogadro constant by counting the atoms in a 28Si crystal", dans Phys. Rev. Lett., vol. 106, no 3, 2011, p. 030801: http://prl.aps.org/abstract/PRL/v106/i3/e030801

Il y a 18 435 599 767 349 200 867 866 premiers avant le nombre entier 10^24, 1/54243 ~ 0.0184355585, soit ~1.8 10^22 soit 1.8%.
Sur cet échantillon de 10^24 entiers, il y a l'inverse de la proportion (10^24entiers)/(18 435 599 767 349 200 867 866Premiers) soit 54243.
Etrangement, il faut saisir combien c'est un échantillon "petit".

----------------------remarque
Il existe bcp de fonctions qui ne donnent pas réellement π(n), mais évaluent seulement si n est premier ou non. Comme elles demandent environ n opérations élémentaires pour être calculée, elle est à cette fin beaucoup plus inefficace que la méthode de division par tous les entiers inférieurs ou égaux à √n, elle-même bien moins rapide que les meilleurs tests de primalité actuellement connus.

-----------------------Euler

Voir sa démonstration de l'infinité des nombres premiers [Euler, 1744 ; http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E072.pdf].

Il utilise l’opérateur de transfo suivant (addition<->multiplication) si important:

$\sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n} \ = \ \prod_{p\in\mathcal{P}} \ \frac{1}{1-1/p}.$

Le membre de gauche est la célèbre suite harmonique si divergente ;) Elle a donné beaucoup de paradoxe (pas que grecs) ! Intuivement on croit toujours qu’elle converge.

Chaque terme de cette série (après le premier) est la moyenne des termes voisins. Cette série est très importante dans les ondes d’ailleurs le terme "harmonique" vient de la musique.

La preuve d'Euler utilise donc cette "identité" si importante

$\sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n} \ = \ \prod_{p\in\mathcal{P}} \ \frac{1}{1-1/p}.$

Avec P ensemble des premiers.
Le terme de gauche est la somme de la série harmonique, qui est divergente et par conséquent, le produit de droite doit contenir une infinité de facteurs.
Le terme de droite est la fonction zêta de Riemann ζ(s).
Remarque: ζ(2)^-1= 6/π², (où π intervient encore) est la probabilité que 2 nombres sélectionnées « au hasard » (échantillonées aléatoirement) sont premiers entre-eux.

Au niveau stratégie de preuve, on commence souvent par écrire l'égalité entre le produit d'Euler et la factorisation de Weierstrass de la fonction zêta [http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_nombres_premiers]:
$\zeta(s) = \prod_{p\in\mathbb{P}} \ \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{e^{a+bs}}{s-1}\prod_{\rho\in Z} (1-\frac{s}{\rho})e^{\frac{s}{\rho}}$
avec s de partie réelle strictement supérieure à 1, P l'ensemble des nombres premiers, Z l'ensemble des zéros (triviaux et non triviaux) de zêta et a, b des constantes.

On prend ensuite la dérivée logarithmique....

-------------------la fonction de compte des nombres premiers de Rieman

Autres fonctions de compte des nombres premiers

D'autres fonctions de compte des nombres premiers sont aussi utilisées car elles sont plus pratiques pour travailler. Une d'elles est la fonction de compte des nombres premiers de Riemann, notée J(x) . Celle-ci possède des sauts de 1/n pour les puissances de nombres premiers pn, qui prennent une valeur à mi-chemin entre les deux côtés des discontinuités. Elle peut être aussi définie comme une transformation de Mellin inverse.

Ref: http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_compte_des_nombres_premiers

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----------------π(x) fonction par paliers (et discontinuités)

In 1975, number theorist Don Zagier commented that primes both:

grow like weeds (mauvaise herbe) among the natural numbers, seeming to obey no other law than that of chance [but also] exhibit stunning regularity [and] that there are laws governing their behavior, and that they obey these laws with almost military precision.

---

There are "arbitrarily" long sequences of consecutive non-primes, as for every positive integer n, the n consecutive integers from $(n+1)! + 2$ to $(n+1)! + n + 1$ (inclusive) are all composite (as $(n+1)! + k$ is divisible by k for k between 2 and n+1).

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Pour commencer:
comme wikipedien, allez sur ces qq assez bonnes pages:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_nombres_premiers
http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_int%C3%A9gral

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sur_le_nombre_de_nombres_premiers_inf%C3%A9rieurs_%C3%A0_une_taille_donn%C3%A9e
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_compte_des_nombres_premiers

Pour aller plus loin:
http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AVM00005.htm
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En fait les entiers les plus intéressants sont les nombres hautement composés
Remarque sur les nombres d’Euclide et les nombres hautement composés...

La primorielle d'un nombre entier n, notée n# ou #n, est le produit de tous les nombres premiers inférieurs (ou égaux) à n.
la suite: 2, 2x3=6, 2x3x5=30, 2x3x5x7=210,

#p+1 ou nombres d’Euclide sont très intéressants :

2*1+1=3 ; 2*3+1=7 ; 2*3*5+1=31….

3, 7, 31, 211, 2311, 30031 (suite A006862 : http://oeis.org/A006862)

E₆=#6 + 1 = 30031 = 59 x 509 est le premier nombre d'Euclide composé (ce qui démontre que tous les nombres d'Euclide ne sont pas premiers…).

de même que #p-1 ne sont pas tous des Premiers, par exemple 210-1=209=11*19

L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration de l'infinitude des nombres premiers ; elle est utilisée pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier p donné : tout diviseur premier de #p+1 est en effet plus grand que p. Il est possible que #p+1 lui-même soit premier, c'est alors un nombre premier primoriel.

Un nombre hautement composé est un entier qui possède plus de diviseurs que n'importe quel entier positif inférieur à lui.

Tout nombre hautement composé (HCN en anglais) est un produit de primorielles par exemple
360 = 2 × 6 × 30 soit 2 x (2x3) x (2x3x5) ou =#1 x #2 x #3.
qui a 24 diviseurs.

Les 21 premiers HCN sont :

nombres hautement composés (suite A002182 de l’OEIS)	1	2	4	6	12	24	36	48	60	120	180	240	360	720	840	1260	1680	2520	5040	7560	10080	...
nombres de diviseurs (suite A002183 de l’OEIS)	1	2	3	4	6	8	9	10	12	16	18	20	24	30	32	36	40	48	60	64	72	...
décomposition en facteurs premiers	1	2	2²	2 3	2² 3	2³ 3	2² 3²	2⁴ 3	2² 3 5	2³ 3 5	2² 3² 5	2⁴ 3 5	2³ 3² 5	2⁴ 3² 5	2³ 3 5 7	2² 3² 5 7	2⁴ 3 5 7	2³ 3² 5 7	2⁴ 3² 5 7	2³ 3³ 5 7	2⁵ 3² 5 7	...

Il existe une infinité de nombres hautement composés.

On a une sous classe intéressante: les HCN qui ont un nombre de diviseur qui est aussi un HCN.
6,12,24,60,360,1260, 2520,5040...

Online Highly Composite Numbers (HCN) Calculator:
http://www.javascripter.net/math/calculators/highlycompositenumbers.htm

http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html

-----------------------
Pour commencer:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_hautement_compos%C3%A9
Pour aller plus loin:
http://mathworld.wolfram.com/HighlyCompositeNumber.html
http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html

Pages

Saturday, October 27, 2012

The Bernoulli numbers and the primes

Monday, June 4, 2012

densité des nombres premiers; Prime numbers

Quand x tend vers l'infini, que se passe-t-il?